ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম কী? সূত্র, সম্পত্তি, শর্ত এবং অ্যাপ্লিকেশন

সমস্যাগুলি দূর করার জন্য আমাদের উপকরণটি ব্যবহার করে দেখুন





গণিত আচরণ এবং কাজ বোঝার জন্য একটি সিদ্ধান্তমূলক ভূমিকা পালন করে বৈদ্যুতিক এবং বৈদ্যুতিন সিস্টেম । বহুবচন, বীজগণিত, সম্ভাবনা, সংহতকরণ এবং পার্থক্য ইত্যাদি… সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত সরঞ্জামগুলির একটি উল্লেখযোগ্য অংশ গঠন করে। সিস্টেমগুলির ক্রমবর্ধমান জটিলতার সাথে খুব পরিশীলিত পদ্ধতিগুলির প্রয়োজন। ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলি নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা সংজ্ঞায়নের জন্য বিশিষ্টভাবে ব্যবহৃত হয়। এই সমীকরণগুলি সমাধান করা সহজ। উচ্চতর অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় জটিলতা দেখা দেয়। এই জাতীয় জটিল উচ্চতর অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, গাণিতিক পদ্ধতিটি কার্যকর হিসাবে প্রমাণিত ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম । যেহেতু এই রূপান্তরটি ব্যাপকভাবে নিযুক্ত রয়েছে, তাই তারা আসলে কী বোঝায় এবং তারা কীভাবে কাজ করে তা জেনে রাখা কার্যকর।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম কী?

গণিতে, সমীকরণটি পরিচালনা করা সহজ করার জন্য রূপ পরিবর্তনগুলি একটি রূপ থেকে অন্য রূপে পরিবর্তনের জন্য প্রয়োগ করা হয়। ল্যাপ্লেস একই জিনিসটি বেশ পরিবর্তন করে। তারা উচ্চতর অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে বহুপদী আকারে রূপান্তরিত করে যা সরাসরি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের চেয়ে অনেক সহজ।




তবে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো বিভিন্ন রূপান্তর রয়েছে, z রূপান্তর করে যা ল্যাপলেসকে বিশেষ রূপান্তরিত করে? ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের প্রধান সুবিধাটি হ'ল, এগুলি উভয় স্থিতিশীল এবং অস্থির সিস্টেমের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেখানে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলি কেবল স্থিতিশীল সিস্টেমগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সূত্র

একটি টাইম ডোমেইনে ফাংশন এফ (টি) এর একটি ল্যাপলেস রূপান্তর, যেখানে টি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান প্রকৃত সংখ্যা, এফ (গুলি) হিসাবে দেওয়া হয়, সেখানে s হ'ল ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের জটিল সংখ্যা i s = σ + jω ω
উপরের সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় একতরফা ল্যাপ্লেস রূপান্তর সমীকরণ । যখন সীমাটি পুরো আসল অক্ষতে প্রসারিত হয় তখন দ্বিপাক্ষিক ল্যাপ্লেস রূপান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে
ব্যবহারিক সার্কিট পছন্দ আরসি এবং আরএল সার্কিট সাধারণত, প্রাথমিক শর্তগুলি তাই ব্যবহার করা হয়, বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে একতরফা ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি প্রয়োগ করা হয়।
S = σ + jω হিসাবে, যখন ap = 0 ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি ফুরিয়ার রূপান্তর হিসাবে আচরণ করে।



ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সূত্র

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সূত্র

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম প্রয়োগের শর্তাদি

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মগুলিকে অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর বলা হয় তাই এই রূপান্তরগুলির একীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাদি রয়েছে।
i.e. f অবশ্যই বিরতি [0, ∞) এর জন্য স্থানীয়ভাবে সংহত হতে হবে এবং positive ধনাত্মক বা নেতিবাচক কিনা তার উপর নির্ভর করে e ^ (- )t) ক্ষয়িষ্ণু বা বৃদ্ধি পাচ্ছে। দ্বিপক্ষীয় ল্যাপ্লেস পরিবর্তনের জন্য একক মানের পরিবর্তে অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর অঞ্চল হিসাবে পরিচিত নির্দিষ্ট মানের মধ্যে বিভক্ত হয়।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের বৈশিষ্ট্য:

লিনিয়ারিটি

লিনিয়ারিটি

লিনিয়ারিটি

সময় স্থানান্তর

সময় স্থানান্তর

সময় স্থানান্তর

এস-ডোমেনে স্থানান্তর করুন

এস-ডোমেনে স্থানান্তর করুন

এস-ডোমেনে স্থানান্তর করুন

সময়-বিপরীত

সময়-বিপরীত

সময়-বিপরীত

এস-ডোমেনে পার্থক্য

এস-ডোমেনে পার্থক্য

এস-ডোমেনে পার্থক্য

সময় মত কনভলিউশন

সময় মত কনভলিউশন

সময় মত কনভলিউশন

প্রাথমিক মান উপপাদ্য

প্রাথমিক স্তরের প্রয়োগটি প্রয়োগ করা হয় যখন ল্যাপলেসে রূপকটির ডিগ্রির চেয়ে কম থাকে চূড়ান্ত মান উপপাদ্য:


যদি এসএফ (গুলি) এর সমস্ত মেরু এস-প্লেনের চূড়ান্ত মান তত্ত্বের বাম অর্ধেক থাকে তবে প্রয়োগ করা হয়।

বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর

কনভার্সনের কারণে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটিতে একটি বিপরীত রূপান্তরও রয়েছে। ল্যাপ্লেস এক থেকে এক ফাংশন স্পেস থেকে অন্যটিতে ম্যাপিংয়ের প্রদর্শন করে। ইনভার্স ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সূত্রটি হ'ল

কীভাবে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম গণনা করবেন?

ল্যাপ্লেস রূপান্তর সমীকরণগুলি হ্যান্ডেল করার জন্য আরও সহজ করে তোলে। যখন একটি উচ্চতর অর্ডারের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দেওয়া হয়, তখন ল্যাপলেস ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করা হয় যা সমীকরণটিকে একটি বীজগণিত সমীকরণে রূপান্তর করে, সুতরাং এটি পরিচালনা করা সহজ করে তোলে। তারপরে আমরা এই বীজগণিত সমীকরণকে সরলকরণের মাধ্যমে শিকড়গুলি গণনা করি। এখন সরল অভিব্যক্তির বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি পাওয়া যায় যা প্রদত্ত উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সমাধান করে।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম গণনা

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম গণনা

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এর অ্যাপ্লিকেশন

  • বৈদ্যুতিক বিশ্লেষণ এবং বৈদ্যুতিক বর্তনীগুলি
  • জটিল বহুভিত্তিক সমীকরণকে সাধারণ বহুপদী রূপগুলিতে ভাঙ্গা।
  • ল্যাপ্লেস রূপান্তর স্থিতিশীল পাশাপাশি ক্ষণস্থায়ী রাজ্য সম্পর্কে তথ্য দেয়।
  • মেশিন লার্নিংয়ে, ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য এবং ডেটা মাইনিংয়ে বিশ্লেষণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়।
  • ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সিস্টেম মডেলিংয়ে গণনা সহজ করে।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ইন সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের প্রয়োগ

ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি প্রায়শই সংকেত প্রক্রিয়াকরণের জন্য পছন্দ করা হয়। ফুরিয়ার রূপান্তর পাশাপাশি, ল্যাপ্লেস রূপান্তর ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সংকেত অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়। যখন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সিগন্যালে ছোট্ট ফ্রিকোয়েন্সি থাকে তখন কেউ সময় ডোমেনে সিগন্যালটি মসৃণ হওয়ার আশা করতে পারে। সিগন্যালের ফিল্টারিং সাধারণত ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে করা হয় যার জন্য ল্যাপ্লেস একটি সময়কাল ডোমেন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সিগন্যাল রূপান্তর করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম হিসাবে কাজ করে।

কন্ট্রোল সিস্টেমে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের প্রয়োগ

কন্ট্রোল সিস্টেমগুলি সাধারণত অন্যান্য ডিভাইসের আচরণ নিয়ন্ত্রণের জন্য ডিজাইন করা হয়। উদাহরণ নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা একটি সাধারণ হোম হিটিং কন্ট্রোলার থেকে শুরু করে একটি শিল্প নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা পর্যন্ত যন্ত্রপাতিগুলির আচরণ নিয়ন্ত্রণ করে।

সাধারণত কন্ট্রোল ইঞ্জিনিয়াররা বিভিন্ন বদ্ধ লুপের কার্যকরী ব্লকের আচরণ বর্ণনা করার জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে। ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি এখানে গুরুত্বপূর্ণ পরিবর্তনশীল তথ্যের ক্ষতি ছাড়াই এই সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে লিনিয়ার টাইম-ইনভেরিয়েন্ট সিস্টেমগুলির বৈশিষ্ট্য

সিস্টেমের সাথে যুক্ত একটি নৈমিত্তিক সিস্টেম আরওসি-র জন্য, ফাংশনটি ডান অর্ধেক বিমান। কোনও সিস্টেমটি অ্যান্টি-ক্যাজুয়াল হয় যদি এর অনুপ্রেরণা h (টি) = 0 টি> 0 এর জন্য হয়।

যদি সিস্টেমের আরওসি এইচ (গুলি) ফাংশন করে তবে জে অক্ষটি অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে এল.টি.আই. সিস্টেম একটি স্থিতিশীল সিস্টেম বলা হয়। যদি যুক্তিসঙ্গত ব্যবস্থাযুক্ত এইচ (গুলি) সহ একটি ক্যাজুয়াল সিস্টেমের সমস্ত মেরুতে নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে তবে সিস্টেমটি স্থিতিশীল।

সুতরাং সার্কিট বিশ্লেষণের জন্য ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম একটি গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম। আমরা বলতে পারি যে স্টেথোস্কোপ হ'ল ডাক্তারের কাছে ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি হ'ল ইঞ্জিনিয়ারকে নিয়ন্ত্রণ করতে। আপনি ল্যাপ্লেস রূপান্তরকে কী হিসাবে বিবেচনা করেন? কীভাবে তারা আপনার পক্ষে সহায়ক ছিল?